Question

如圖，⊙O的弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一點，連結CE并延長交CE的延長線于點F．

求：（1）⊙O的半徑；

（2）求CE·CF的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）5；（2）80.

【解析】

試題分析：（1）連接AO，由OM : MD=3:2，可設OM=3 k，MD=2 k (k >0)，則OA=OD=5 k，在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1，從而求得⊙O的半徑；（2）連接AE，通過證明DACE∽DFCA即可得AC²=CE×CF，在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80，從而求得CE×CF=80.

試題解析：（1）如圖，連接AO，

∵OM : MD=3:2，∴可設OM=3 k，MD=2 k (k >0)，則OA=OD=5 k.

又∵弦AB=8，直徑CD⊥AB于M，∴AM=4.

在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1 ．

∴圓O的半徑為5 ．

（2）如圖，連接AE，

由垂徑定理可知：ÐAEC=ÐCAF，

又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC²=CE×CF.

在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC²=AM²+CM²=16+64=80 ，

∴CE×CF=80.

考點：1. 垂徑定理；2. 勾股定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.待定系數(shù)法的應用.