Question

19．如圖，在正方形ABCD中，G是對角線AC上一點，GE⊥AB，GF⊥BC，垂足分別是E、F，連結(jié)EF、BG、DG．求證：DG=EF．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得出∠ABC=∠BCD=90°，CD=CB，AC平分∠BCD，由SAS證明△DCG≌△BCG，得出DG=BG，再證明四邊形BEGF是矩形，得出EF=BG，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=CB，AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
在△DCG和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}&{\;}\\{∠ACD=∠ACB}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BCG （SAS），
∴DG=BG，
∵GE⊥AB，GF⊥BC，
∴∠GEB=∠GFB=∠ABC=90°，
∴四邊形BEGF是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），
∴EF=BG（矩形的對角線相等），
∴DG=EF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．