Question

如圖，已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍．求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是直線y=-2x+4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME垂直x軸于點(diǎn)E，在y軸（原點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)F，使△MEF為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及對應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-2x+4求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，根據(jù)點(diǎn)P、C的坐標(biāo)求出PD、CD，然后根據(jù)S_△APC=S_梯形APDO-S_△AOC-S_△PCD，列式求出△APC的面積，再根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得到AB的長度，然后利用三角形的面積公式求出△ABQ的點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的值，然后代入拋物線求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)E在x軸上，根據(jù)點(diǎn)M在直線y=-2x+4上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°時(shí)，利用點(diǎn)M到坐標(biāo)軸的距離相等列式求解即可；②∠MFE=90°時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的長度等于縱坐標(biāo)長度的一半，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）令x=0，則y=4，
令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，
所以，點(diǎn)A（2，0），C（0，4），
∵拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C，
∴

-2×4+2b+c=0 c=4

，
解得

b=2 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+2x+4；

（2）∵y=-2x²+2x+4=-2（x-

1

2

）²+

9

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，

9

2

），
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，
又∵C（0，4），
∴PD=

1

2

，CD=

9

2

-4=

1

2

，
∴S_△APC=S_梯形APDO-S_△AOC-S_△PCD，
=

1

2

×（

1

2

+2）×

9

2

-

1

2

×2×4-

1

2

×

1

2

×

1

2

，
=

45

8

-4-

1

8

，
=

3

2

，
令y=0，則-2x²+2x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，
∵△ABQ的面積等于△APC面積的4倍，
∴

1

2

×3h=4×

3

2

，
解得h=4，
∵4＜

9

2

，
∴點(diǎn)Q可以在x軸的上方也可以在x軸的下方，
即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4或-4，
當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4時(shí)，-2x²+2x+4=4，
解得x₁=0，x₂=1，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4）或（1，4），
當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-4時(shí)，-2x²+2x+4=-4，
解得x₁=

1+ 17

2

，x₂=

1- 17

2

，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

1+ 17

2

，-4）或（

1- 17

2

，-4），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（0，4）或（1，4）或（

1+ 17

2

，-4）或（

1- 17

2

，-4）；

（3）存在．
理由如下：如圖，∵點(diǎn)M在直線y=-2x+4上，
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-2a+4），
①∠EMF=90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a=

4

3

或a=4，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，

4

3

）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

4

3

，

4

3

），
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，-4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-4）；
②∠MFE=90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=

1

2

|-2a+4|，
即a=

1

2

（-2a+4），
解得a=1，
-2a+4=2×1=2，
此時(shí)，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），
或a=-

1

2

（-2a+4），
此時(shí)無解，
綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，

4

3

）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

4

3

，

4

3

），
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，-4）時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-4）；
點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（3）要注意分情況討論．