Question

5．如圖，AC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，CA=CB，連接BO交⊙O于點D，連接AD，則tan∠ADO的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 3-$\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 過點D作DE⊥AC于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠ODE=∠OBC，由等角的三角函數(shù)列式得：tan∠ODE=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)OE=x，DE=2x，則OD=OA=$\sqrt{5}$x，表示AE=（1+$\sqrt{5}$）x，由半徑相等和等邊對等角可得結(jié)論．

解答 解：過點D作DE⊥AC于E，
∵AC=BC=2OB，
∵∠ACB=∠DEO=90°，
∴BC∥DE，
∴∠ODE=∠OBC，
∴tan∠ODE=tan∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)OE=x，DE=2x，則OD=OA=$\sqrt{5}$x，
∴AE=OA+OE=（1+$\sqrt{5}$）x，
∵OD=OA，
∴tan∠ADO=tan∠DOA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{2x}{（1+\sqrt{5}）x}$=$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故選A．

點評 本題考查了圓周角定理、三角函數(shù)，能做出輔助線，得DE=2OE是關(guān)鍵．