Question

已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，E是直線AB上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B、G重合)，直線DE交⊙O于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)P．設(shè)⊙O的半徑為r．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直徑AB上時(shí)，試證明：OE·OP＝r²

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB(或BA)的延長線上時(shí)，以如圖點(diǎn)E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ． 　　∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°．∴∠QFD＋∠Q＝90°． 　　∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°． 　　∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P． 　　∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF． 　　∴．∴OE·OP＝OF2＝r2． 　　(2)解：(1)中的結(jié)論成立． 　　理由：如圖，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM． 　　∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°． 　　∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°． 　　∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E． 　　∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE． 　　∴，∴OE·OP＝OF2＝r2． 　　思路分析：(1)要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明．觀察圖形，此題顯然要連半徑OF，構(gòu)造OE、OP所在的三角形，這樣問題便轉(zhuǎn)化為證明△FOE∽△POF了．而要證明△FOE∽△POF，由于已經(jīng)存在一個(gè)公共角，因此只需再證明另一角對應(yīng)相等即可，這一點(diǎn)利用圓周角定理及其推論可獲證，且方法不惟一；(2)同(1)類似． 　　方法規(guī)律：此題綜合考查圓的性質(zhì)及相似的知識，解題關(guān)鍵是輔助線的靈活添加．值得注意的是(2)問是(1)知識的變式，能開拓視野，提高思維深度、靈敏性，其證明同(1)類似，可不必證明．