Question

5．在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側(cè)）與y軸交于點C．
（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時，求點P的橫坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=-4$\sqrt{2}$a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）通過解方程ax²-5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點坐標，再把C點坐標代入y=ax²-5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設(shè)P（x，ax²-5ax+4a），則PD=-ax²+5ax，通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（-ax²+5ax）：（-4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到點P的橫坐標；
（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），則可得到-10a=6-1，解得a=-$\frac{1}{2}$，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF=2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，則K（6，2），然后利用待定系數(shù)法求出直線KB的解析式為y=x-4，再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$得到Q（-1，-5），利用P、Q點的坐標可判斷PQ∥x 軸，于是可得到QP=7．

解答 解：（1）當y=0時，ax²-5ax+4a=0，解得x₁=1，x₂=4，則A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵△ABC的面積為3，
∴$\frac{1}{2}$•4•OC=3，解得OC=2，則C（0，-2），
把C（0，-2）代入y=ax²-5ax+4a得4a=-2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設(shè)P（x，ax²-5ax+4a），則PD=4a-（ax²-5ax+4a）=-ax²+5ax，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠BCP=2∠ABC，
∴∠PCD=∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC=CD：OB，
即（-ax²+5ax）：（-4a）=x：4，解得x₁=0，x₂=6，
∴點P的橫坐標為6；
（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，
∵AK=FK，
∴∠KAF=∠KFA，
而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH=∠FKP，
∴∠HAP=∠KPA，
∴HA=HP，
∴△AHP為等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴-10a=6-1，解得a=-$\frac{1}{2}$，
在Rt△PFG中，∵PF=-4$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$，∠FPG=45°，
∴FG=PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PF=2，
在△AKH和△KFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHK=∠KGF}\\{∠KAH=GKF}\\{KA=FK}\end{array}\right.$，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH=FG=2，
∴K（6，2），
設(shè)直線KB的解析式為y=mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線KB的解析式為y=x-4，
當a=-$\frac{1}{2}$時，拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{5}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴Q（-1，-5），
而P（6，-5），
∴PQ∥x 軸，
∴QP=7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會利用全等三角形的知識證明線段相等和相似比計算線段的長．