Question

在四邊形ABCD中，已知△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則邊CD的長為________．

Answer 1

4
分析：首先根據(jù)題意作出圖形，然后以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．易證得△BCD≌△ACE，則可得AE=BD=5，又由∠ADC=30°，可求得∠ADE=90°，然后由股定理可求得DE的長，繼而可求得邊CD的長．
解答：解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．
∴CD=CE=DE，∠DCE=∠CDE=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACE=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∵，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
在Rt△ADE中，AE=5，AD=3，
∴DE==4，
∴CD=DE=4．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．