Question

17．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（h，k）（h≠0）．
（1）當(dāng)h=1，k=2時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=tx²（t≠0）也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)a與t之間的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，已知a=-$\frac{1}{2}$，直線l：y=$\frac{4}{3}$x-1與拋物線y=tx²-$\frac{2}{3}$x-7交于點(diǎn)B，C，與x軸，y軸交于點(diǎn)D，E，點(diǎn)M在拋物線y=tx²-$\frac{2}{3}$x-7上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜6）．MF∥y軸交于直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)N在直線l上，且四邊形MNFQ為矩形（如圖），若矩形MNFQ的周長(zhǎng)為P，求P的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，再把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a的值，可求得拋物線解析式；
（2）把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩拋物線解析式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入整理可得到a與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用（2）的結(jié)論可求得a和t的值，可用m表示出M、F的坐標(biāo)，從而可用m表示出FM，由條件可求得OD、OE和DE的長(zhǎng)，在矩形MNFQ中，利用三角函數(shù)的定義可用MF表示出NF和MN，從而可表示出P，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵由題意可知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+2，
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，
∴0=a（0-1）²+2，解得a=-2，
∴拋物線解析式為y=-2（x-1）²+2；

（2）∵拋物線y=tx²（t≠0）也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，
∴k=th²，
∴y=a（x-h）²+k=a（x-h）²+th²，
∵當(dāng)x=0時(shí)y=0，
∴0=ah²+th²，
∵h(yuǎn)≠0，
∴a+t=0，即a=-t；

（3）由（2）可知a=-t，
∴當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，t=$\frac{1}{2}$，
∴M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{2}{3}$m-7），F(xiàn)（m，$\frac{4}{3}$m-1），
∴FM=（$\frac{4}{3}$m-1）-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{2}{3}$m-7）=-$\frac{1}{2}$m²+2m+6，
又在y=$\frac{4}{3}$x-1中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，y=0時(shí)x=$\frac{3}{4}$，
∴OD=$\frac{3}{4}$，OE=1，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵M(jìn)F∥y軸，
∴∠DEO=∠MFN，
在矩形MNFQ中，NF=MF•cos∠MFN=MF•$\frac{OE}{DE}$=$\frac{4}{5}$MF，
MN=MF•sin∠MFN=MF•$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{5}$MF，
∴P=2（MN+NF）=$\frac{14}{5}$MF=$\frac{14}{5}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+6）=-$\frac{7}{5}$m²+$\frac{28}{5}$m+$\frac{84}{5}$=-$\frac{7}{5}$（m-2）²+$\frac{112}{5}$，
∵0＜m＜6，-$\frac{7}{5}$＜0，
∴當(dāng)m=2時(shí)，P取最大值，最大值為$\frac{112}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中注意設(shè)為頂點(diǎn)式，在（2）中利用兩拋物線都過(guò)A點(diǎn)消去k是解題的關(guān)鍵，在（3）中用MF分別表示出NF和MN是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．