Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG。
（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想；
（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明。

Answer 1

解：（1）EG=CG，EG⊥CG；
（2）EG=CG，EG⊥CG，
證明：延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M，連MG，
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形，
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由圖（3）可知，△BEF為等腰直角三角形，
∴BE=EF，
∴EF=CM，
∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG，
∴MG=FD=FG，
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD，
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°，
又FG=DG，
∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC，
∴△GFE≌△GMC，
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC，
∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG。