Question

14．如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，CE，AF分別平分∠BCA，∠CAD．
（1）求證：△BCE≌△DAF；
（2）若AC=BC，求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析 （1）只要證明BC=AD，∠B=∠D，∠BCE=∠DAF即可解決問題；
（2）首先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證明CE⊥AB即可；

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠DAC=∠ACB，
∵CE，AF分別平分∠BCA，∠CAD，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠DAF=∠BCE，
在△BCE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{BC=DA}\\{∠BCE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DAF．

（2）∵△BCE≌△DAF，
∴EC=AF，BE=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CA=CB，CE平分∠ACB，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點評 本題考查平行四邊形的判定和性質、矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．