Question

20．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C，若PC=2$\sqrt{5}$，⊙O的半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 首先連接OB，利用切線的性質(zhì)與OP⊥l，易證得∠ACP=∠CBA，即可證得AB=AC，然后設(shè)⊙O的半徑為x，利用勾股定理，分別表示出AB與AC，即可得方程：（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²=5²-r²，繼而求得答案．

解答 解：連接OB，
∵AB為切線，
∴∠OBA=90°，即∠OBP+∠PBA=90°，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACP+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
而∠OPB=∠CPA，
∴∠CPA=∠OBP．
∴∠ACP=∠CBA，
∴AB=AC；
設(shè)⊙O的半徑為r，
在Rt△PAC中，PA=OA-OP=5-r，
∴AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²，
在Rt△ABO中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
而AB=AC，
∴（2$\sqrt{5}$）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半徑為3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．