Question

17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若AF=6，EF=2$\sqrt{5}$，求⊙O 的半徑長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AD，而AD⊥DP，則肯定判斷OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；
（2）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則∠BCE=45°，再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，則∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根據(jù)等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判斷△PCF是等腰三角形；
（3）連結(jié)OE．由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=45°，設⊙O 的半徑為r，則OF=6-r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵PD為⊙O的切線，
∴OC⊥DP，
∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=45°，
∴∠BOE=2∠BCE=90°，
∴∠OFE+∠OEF=90°，
而∠OFE=∠CFP，
∴∠CFP+∠OEF=90°，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，
而∠OCF=∠OEF，
∴∠PCF=∠CFP，
∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：連結(jié)OE．
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，
∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，
∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，
設⊙O 的半徑為r，則OF=6-r，
在Rt△EOF中，∵OE²+OF²=EF²，
∴r²+（6-r）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得，r₁=4，r₂=2，
當r₁=4時，OF=6-r=2（符合題意），
當r₂=2時，OF=6-r=4（不合題意，舍去），
∴⊙O的半徑r=4．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和等腰三角形的判定．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．