Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+1分別與x軸，y軸交于點A，點B．
（1）以AB為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC及△ABC的外接圓⊙M（用尺規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（2）若⊙M與x軸的另一個交點為點D，求A，B，C，D四點的坐標(biāo)；
（3）求經(jīng)過A，B，D三點的拋物線的解析式，并判斷在拋物線上是否存在點P，使△ADP的面積等于△ADC的面積？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，正確作出圖形，保留作圖痕跡；

（2）由直線y=-x+1，求得點A的坐標(biāo)為（，0），點B的坐標(biāo)為（0，1）∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1
∴AB=2，tan∠OBA=
∴∠OBA=60°
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°
∵△ABC是等邊三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴點C的坐標(biāo)為（，2），連接BM
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠MBA=∠ABC=30°
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°
∴OB⊥BM
∴直線OB是⊙M的切線．
∴OB²=OD•OA
∴12=OD•
∴OD=
∴點D的坐標(biāo)為（，0）；

（3）設(shè)經(jīng)過A，B，D三點的拋物線的解析式是y=a（x-）（x-）
把B（0，1）代入上式得a=1
∴拋物線的解析式是y=x²-x+1
存在點P，使△ADP的面積等于△ADC的面積
點P的坐標(biāo)分別為P₁（，2），P₂（，2）．
分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫�。畠苫∠嘟挥贏B上方的C點，連接AC、BC，△ABC就是所求作的等邊三角形．
作△ABC的外接圓時，可作任意兩邊的垂直平分線，垂直平分線的交點就是圓心M；
（2）根據(jù)直線AB的解析式可求出A、B的坐標(biāo)，此時可得出∠OBA=60°，那么AC∥y軸，因此C點的橫坐標(biāo)與A點的橫坐標(biāo)相同，C點的縱坐標(biāo)是B點縱坐標(biāo)的2倍據(jù)此可求出C點的坐標(biāo)．連接BD，不難得出∠DBO=∠BAO=30°，由此可根據(jù)相似三角形OBD和OAB得出OB²=OD•OA，由此可求出OD的長，即D點的坐標(biāo)；
（3）可根據(jù)（2）得出的A、B、D三點的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．已知了△ADP和△ADC的面積相等，那么P點的縱坐標(biāo)的絕對值和C點的縱坐標(biāo)相等，然后將P點的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標(biāo)．
點評：本題是一道綜合性很強(qiáng)的壓軸題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、圓、幾何作圖等大量知識，第3小題是比較常規(guī)的結(jié)論存在性問題，運用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想可解決．