Question

20．創(chuàng)新研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下信息：第一月的月產(chǎn)值為x（噸）時(shí)，所需的全部費(fèi)用y（萬(wàn)元）與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=x²+5x+10，投入市場(chǎng)后當(dāng)月能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)p_甲，p_乙（萬(wàn)元）均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：月利潤(rùn)=月銷售額-全部費(fèi)用）
（1）信息表明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，P_甲=-$\frac{1}{2}$x+16，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)月的月銷售額，并求月利潤(rùn)W_甲（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）信息表明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，P_乙=-$\frac{1}{4}$x+k（k為常數(shù)），且在乙地當(dāng)月的最大利潤(rùn)為10萬(wàn)元．試確定k的值；
（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一月生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品5噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請(qǐng)你通過計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的月利潤(rùn)？
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤(rùn)W_甲（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤(rùn)W_乙（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)最大年利潤(rùn)為10萬(wàn)元．求出k的值；
（3）分別求出x=5時(shí)，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助作出選擇．

解答 解：（1）甲地當(dāng)月的月銷售額為：x（-$\frac{1}{2}$x+16）=-$\frac{1}{2}$x²+16x（萬(wàn)元），
月利潤(rùn)W_甲=（-$\frac{1}{2}$x²+16x）-（x²+5x+10）=-$\frac{3}{2}$x²+11x-10；
（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，
年利潤(rùn)：W_乙=x（-$\frac{1}{4}$x+k）-（x²+5x+10）=-$\frac{5}{4}$x²+（k-5）x-10，
由$\frac{4ac-^{2}}{4a}=\frac{4×（-\frac{5}{4}）×（-10）-（k-5）^{2}}{4×（-\frac{5}{4}）}=10$，
解得：k=15或k=-5（舍去），
故k=15；
（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)W_乙=-$\frac{5}{4}$x²+10x-10，
當(dāng)x=5時(shí)，W_乙=-$\frac{5}{4}$×25+10×5-10=$\frac{35}{4}$（萬(wàn)元），
當(dāng)x=5時(shí)，W_甲=-$\frac{3}{2}$×25+11×5-10=$\frac{15}{2}$（萬(wàn)元），
∵W_乙＞W(wǎng)_甲，
∴應(yīng)選乙地．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題是一道最佳方案選擇題，通過計(jì)算、比較同一個(gè)自變量的兩個(gè)函數(shù)值的大小來選擇最佳方案．依據(jù)年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤(rùn)W_甲（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式及利潤(rùn)W_乙（萬(wàn)元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，分別求出x=5時(shí)，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助做出選擇．