Question

已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OF⊥BD于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，
求證：AO²=OE•OF．

Answer 1

證明：∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴OA=OC，且∠OCD=∠ODC，∠BCD=90°，
∵OF⊥BD于點(diǎn)O，
∴∠F=∠ODC，
∴∠OCD=∠F，
在△OCE和△OFC中，
∵∠EOC=∠COF，
∠OCD=∠F，
∴△OCE∽△OFC，
∴OC：OF=OE：OC，
∴OC²=OE•OF，
∴AO²=OE•OF．
分析：此題首先由已知矩形對(duì)角線，及OF⊥BD得出∠F=∠ODC，∴∠OCD=∠F，然后證明△OCE∽△OFC，得出OC²=OE•OF，又由矩形的對(duì)角線相等且互相平分，從而得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是先由矩形的性質(zhì)及已知得出∠F=∠ODC，得出∠OCD=∠F，再證明三角形相似．