Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-nx+m-$\frac{5}{4}$關(guān)于y軸對(duì)稱，且經(jīng)過點(diǎn)（-1，-$\frac{3}{4}$）
（1）求m，n的值；
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）且與y軸垂直，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，記P到直線l的距離為d，試探索d與線段OP長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）若A（1，1），點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出OP+AP的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對(duì)稱性和過已知點(diǎn)，可求得m、n的值；
（2）可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再用P點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出d和OP的長(zhǎng)，可得出d=OP；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知OP的長(zhǎng)與P到直線l的距離相等，可過A作直線垂直于x軸，與拋物線的交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，容易求得OP+AP和P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴n=0，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，-$\frac{3}{4}$），
∴m+m-$\frac{5}{4}$=-$\frac{3}{4}$，解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）d=OP．證明如下：
由（1）可知拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-1，故可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{4}$x²-1），
∴點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{1}{4}$x²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$x²+1，
又∵OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{16}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴d=OP；
（3）如圖，過A作直線t⊥x軸，與拋物線交于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)B，

由（2）可知PO=PB，
∴OP+AP=PB+AP=AB，
∴此時(shí)P點(diǎn)滿足條件，
∴OP+AP=1-（-2）=3，把x=1代入拋物線解析式可求得y=-$\frac{3}{4}$，
∴OP+AP的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中確定出n是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用勾股定理表示出OP的距離是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識(shí)相對(duì)基礎(chǔ)，難度不大．