Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸相交于點C．連接AC、BC，B、C兩點的坐標分別為B（1，0）、，且當x=-10和x=8時函數的值y相等．
（1）求a、b、c的值；
（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．連接MN，將△BMN沿MN翻折，當運動時間為幾秒時，B點恰好落在AC邊上的P處？并求點P的坐標；
（3）上下平移該拋物線得到新的拋物線，設新拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸的交點為E，若△ODE與△OBC相似，求新拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵當x=-10和x=8時函數的值y相等，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1．
由題意得：a+b+c=0，c=，，
∴；

（2）令y=0，則x=-3或1，∴A（-3，0），
易得．
∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°，
∴BM=BN=PN=PM，
∴四邊形BNPM為菱形，
∴PM=BN．
設運動t秒后點B在AC上，
∵PN∥AB，
∴，∴．
∴PM=BN=，
過P作PE⊥AB于E，
在Rt△PEM中，PE=sin60°=，
∴OM=BM-OB=-1=，OE=1．
∴P（-1，）；

（3）設所求拋物線的解析式為y=-（x+1）²+k．
Rt△OBC中，∠OBC=60°，
若△ODE與△OBC相似，則：
①∠DOE=60°，
Rt△ODE中，OE=1，則DE=
故D（-1，）或（-1，-）
∴平移后的拋物線解析式為：y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-
②∠DOE=30°
Rt△ODE中，OE=1，則DE=
故D（-1，）或（-1，-）
∴平移后的拋物線解析式為：y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-
綜上所述，存在符合條件的拋物線，且解析式為：
y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-或y=-（x+1）²+或y=-（x+1）²-．
分析：（1）由于當x=-10和x=8時函數的值y相等，可得拋物線的對稱軸為x=-1，將B、C坐標代入拋物線的解析式中，聯立拋物線的對稱軸方程，即可求得a、b、c的值；
（2）根據B、C坐標知：OB=1，OC=，得∠OBC=60°，若△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，那么四邊形MBNP為菱形，此時NP=BM=t，易得△CPN∽△CAB，根據相似三角形得到的比例線段，即可求得t的值，由此可得PM的長，過P作PE⊥AB于E，由于∠PMA=60°，通過解直角三角形，可得到ME、PE的長，進而求得點P的坐標；
（3）由于是上下平移拋物線，所以拋物線的二次項系數、拋物線對稱軸方程都沒有變化，可設出平移的距離，從而表示出平移后的拋物線解析式，然后分兩種情況考慮：
①∠DOE=60°，此時△DOE∽△CBO，易求得OE=1，那么DE=，即D點縱坐標的絕對值為，可據此求出平移后的拋物線解析式；
②∠DOE=30°，此時△DOE∽△BCO，同①可求得DE=，即D點縱坐標的絕對值為，就可求得平移后的拋物線解析式．
點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、圖形的翻折變換、相似三角形的判定和性質等知識，（3）題中，由于相似三角形的對應頂點不明確，需要分類討論，以免漏解．