Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD，BD，OC，OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=

3

5

（

BD

AB

=

3

5

），求CD的長；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果精確到0.1）

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）先求出AD的長，再根據(jù)sin∠BAD=

3

5

（

BD

AB

=

3

5

）求出BD的長，設(shè)OE=x，則BE=5-x，由勾股定理求出x的值，進而可得出DE的長，由此得出結(jié)論；
（2））由∠ADO：∠EDO=4：1可設(shè)∠ADO=4x，∠EDO=x，根據(jù)OA=OD可知∠OAD=∠ODA=4x，再由AB⊥CD可知4x+4x+x=90°，解得x=10°，由此可得出∠AOC的度數(shù)，由扇形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵OD=5，
∴AB=10
∴

BD

AB

=

BD

10

=

3

5

，
∴BD=6．
設(shè)OE=x，則BE=5-x，由勾股定理得：BD²-BE²=DO²-OE²
即6²-（5-x）²=5²-x²，解得x=

7

5

，
∴DE=

24

5

，
∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵∠ADO：∠EDO=4：1，
∴設(shè)∠ADO=4x，∠EDO=x．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=4x．
∵AB⊥CD，
∴4x+4x+x=90°，解得x=10°，
∴∠ADE=50°，∠AOC=100°                      
∴S_{扇形OAC（陰影部分）}=

100π×52

360

=

125

18

π≈21.8．

點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．