Question

如圖，矩形ABCD的邊AD、AB分別與⊙O相切于E、F，AE=．
（1）求弧EF的長(zhǎng)．
（2）若AD=，直線MN分別交DA、DC于點(diǎn)M、N，∠DMN=60°，將直線MN沿射線DA方向平移，當(dāng)MN和⊙O第一次相切時(shí)，求點(diǎn)D到直線MN的距離．
（3）若點(diǎn)D到直線MN的距離為4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙O和直線MN的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）連接OE、OF．
∵AD、AB與⊙O相切于E、F，
∴OE⊥AD，OF⊥AB
∵矩形ABCD中，∠A=90°，
∴四邊形OEAF是矩形．
∵OE=OF，
∴四邊形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=，∠O=90°，
∴弧EF的長(zhǎng)為：=；

（2）當(dāng)MN和⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)MN交AD于P，交BC于Q，連接OP，OE，過(guò)D作DG⊥MN于G．
∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠DMN=∠DPQ=60°，
∴∠APQ=120°．
∵PA和PQ與⊙O相切，
∴∠EPO=∠OPQ=60°．
在△OEP中，∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=，
∴EP=1，OP=2，
∴DP=AD-AE-EP=+5--1=4．
在△DPG中，∵∠DGP=90°，∠PDG=30°，
∴DG=PD•cos30°=2，
∴點(diǎn)D到直線MN的距離d為2；

（3）設(shè)點(diǎn)D到直線MN的距離為d．
由（2）知，當(dāng)d=2時(shí)，直線MN與⊙O第一次相切，
∵⊙O的半徑為，∴當(dāng)d=4時(shí)，直線MN與⊙O第二次相切，
又∵2＜4＜4，
∴當(dāng)d=4時(shí)，MN直線與⊙O相交．
分析：（1）連接OE、OF，利用相切證明四邊形AFOE是正方形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng)；
（2）當(dāng)MN和⊙O第一次相切時(shí)，設(shè)MN交AD于P，交BC于Q，連接OP，OE，過(guò)D作DG⊥MN于G．先解直角△OEP，求出EP=1，OP=2，得出DP=4，再解直角△DPG，即可求出DG的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)（2），可知MN和⊙O第一次相切時(shí)d的值，再結(jié)合⊙O的半徑即可得出d為4時(shí)⊙O和直線MN的位置關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，弧長(zhǎng)的計(jì)算，切線的性質(zhì)及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度中等．