Question

6．如圖，直線L₁∥L₂，圓O與L₁和L₂分別相切于點A和點B，點M和點N分別是L₁和L₂上的動點，MN沿L₁和L₂平移，圓O的半徑為1，∠1=60°，當(dāng)MN與圓相切時，AM的長度等于$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 當(dāng)MN在左側(cè)與⊙O相切時，連接OM、OA，則OM平分∠1，在Rt△OAM中可求得AM；當(dāng)MN在右側(cè)與⊙O相切時，連接OM、OA，則OM平分∠AMN，在Rt△OAM中可求得MA的長，可求得答案．

解答 解：
當(dāng)MN在左側(cè)與⊙O相切時，連接OM、OA，如圖1，

∵M(jìn)A、MN是⊙O的切線，
∴OM平分∠AMN，OA⊥MA，
∴∠AMO=30°，
∴OM=2OA=2，
在Rt△OAM中，MA=$\sqrt{O{M}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
當(dāng)MN在右側(cè)與⊙O相切時，連接OM、OA，如圖2，

∵∠1=60°，
∴∠AMN=120°，
同上可知∠AMO=$\frac{1}{2}$∠AMN=60°，
∴OM=2AM，
在Rt△OAM中，MA²=OM²-OA²，即MA²=4MA²-1，解得MA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
綜上可知MA的長度為$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段長度是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況討論．