Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx-m²（m≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，它的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上．
（1）證明：A，B是x軸上兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)以AB為直徑的圓與y軸交于點(diǎn)C，D，求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵y=x²-2mx-m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-m²）=4m²+4m²=8m²，
∵m≠0，
∴△=8m²＞0，
∴A，B是x軸上兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）設(shè)AB點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-

b

a

=-

-2m

1

=2m，x₁•x₂=

c

a

=-m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4m2+4m2

=2

2m2

，
-

b

2a

=-

-2m

2×1

=m，

4ac-b2

4a

=

4×1×(-m2)-(-2m)2

4×1

=-2m²，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，-2m²），
∵拋物線的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，
∴AB=2（2m²），
即2

2m2

=2（2m²），
解得m²=

1

2

，
∴m=±

2

2

，
∴y=x²-2×

2

2

x-

1

2

=x²-

2

x-

1

2

，或y=x²+2×

2

2

x-

1

2

=x²+

2

x-

1

2

，
即拋物線解析式為：y=x²-

2

x-

1

2

或y=x²+

2

x-

1

2

；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，圓的半徑為2m²=2×

1

2

=1，
弦CD的弦心距為|m|=

2

2

，
∴

1

2

CD=

12-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴CD=2×

2

2

=

2

．