Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，AB、CD都是它的直徑，∠AOD=60°，點P在劣弧上運動變化．
（1）問∠APC的大小隨點P的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍；
（2）線段PA+PC的長度大小隨點P的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍．

Answer 1

解：（1）∠APC的大小不變化．理由如下：
∵∠APC=∠AOC，
而∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠APC=×120°=60°，
∴∠APC不會隨著點P的變化而變化；

（2）線段PA+PC的長度大小隨點P的變化而變化．
連AC，AD，
∵∠AOD=60°，OA=OD
∴三角形AOD為等邊三角形
又∵CD為直徑，
∴∠DAC=90°，則∠ACD=30°，
且AO=1，因此AC=，
在△APC中，由余弦定理得：AC²=AP²+PC²-2APPCcos60°，
即AP²+PC²-AP•PC=3，
∴（AP+PC）²=3+3AP•PC，
而，
又∵點P在上運動，則點P到AC的距離是變化的，底邊AC為定值，
∴△APC的面積是變化的，從而AP•PC的值也是變化的，且隨點P到AC的距離的增大而增大，
當點P為的中點時，點P到AC的距離的最大．
∵此時三角形APC為正三角形，
∴此時點P到AC的距離為×=，
∴PA+PC的最大值為．
點P到AC的距離的最小值為1，
當點P與點D或點B重合，點P到AC的距離的最小，最小值為1，
此時PA+PC的值為3，
因此，PA+PC值的變化范圍為3≤PA+PC．
分析：（1）由于∠APC=∠AOC，而∠AOC=180°-60°=120°，所以∠APC=×120°=60°．
（2）先根據(jù)三角形AOD為等邊三角形，△DAC為直角三角形，得到AC=，在△APC中，由余弦定理得：AC²=AP²+PC²-2APPCcos60°，變形為（AP+PC）²=3+3AP•PC，然后由，以及三角形APC的面積等于AC與P到AC的距離的一半得到AP•PC是變化的，當點P為的中點時，可分析出并求出PA+PC的最大值為；當點P與點D或點B重合，可分析出并求出PA+PC的最小值為3，由此得到PA+PC值的變化范圍．
點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了圓周角的推論：直徑所對的圓周角為90度．考查了正余弦定理，以及含30度的直角三角形三邊的關系．