Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，1），且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）。
（1）求c的值；
（2）求a的取值范圍；
（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：S₁-S₂為常數(shù)，并求出該常數(shù)。

Answer 1

解：（1）把C（0，1）代入拋物線得：0=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1；
（2）把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，ax²+bx+1=0，
b²-4ac=（-1-a）²-4a=a²-2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
答：a的取值范圍是a≠1且a＞0；
（3）證明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右邊，設(shè)A（a，0），B（b，0），
∵ax²+（-1-a）x+1=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=，ab=，
∴AB=b-a==，
把y=1代入拋物線得：ax²+（-1-a）x+1=1，
解得：x₁=0，x₂=，
∴CD=，
過P作MN⊥CD于M，交X軸于N，則MN⊥X軸，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴，
∴，
∴PN=，PM=，
∴S₁-S₂==1，
即不論a為何只，S₁-S₂的值都是常數(shù)，
答：這個(gè)常數(shù)是1。