Question

3．已知：拋物線l₁：y=-x²+bx+3交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x=1，拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），交y軸于點(diǎn)D（0，-$\frac{5}{2}$）．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱軸公式求得b的值，即得到拋物線l₁的解析式，然后根據(jù)解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，所以利用點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)D的坐標(biāo)來(lái)求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P（1，y），由（1）可得C（0，3）．利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵拋物線l₁：y=-x²+bx+3的對(duì)稱軸為x=1，
∴-$\frac{-2}$=-1，
解得b=2，
∴拋物線l₁的解析式為：y=-x²+2x+3，或者y=-（x-1）（x+3），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0）．
又∵拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），
∴可設(shè)拋物線l₂的解析式為：y=a（x+1）（x-5），
又∵拋物線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，-$\frac{5}{2}$），
∴-5a=-$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
則拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-5）或y=$\frac{1}{2}$x²-2x-$\frac{5}{2}$；

（2）設(shè)P（1，y），由（1）可得C（0，3）．
∴PC²=1²+（y-3）²=y²-6y+10，PA²=[1-（-1）]²+y²=4+y²．
∵PA=PC，
∴y²-6y+10=4+y²，
解得y=1．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．