Question

15．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得FA=FC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得EA=EC，根據(jù)線段垂直平分線的判定可得EF是線段AC的垂直平分線；根據(jù)條件及等邊三角形的性質(zhì)可得∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，從而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得AD=AB=2AF=4AG；易證DB=DA=EF，∠DBF=∠EFA=60°，BF=FA，即可得到△DBF≌△EFA．

解答 解：連接FC，如圖所示：
∵∠ACB=90°，F(xiàn)為AB的中點，
∴FA=FB=FC，
∵△ACE是等邊三角形，
∴EA=EC，
∵FA=FC，EA=EC，
∴點F、點E都在線段AC的垂直平分線上，
∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點，
∴DF⊥AB即∠DFA=90°，BD=DA=AB=2AF，∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°．
∵∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠EAF=90°，
∴∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，
∴DF∥AE，DA∥EF，
∴四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；
∵四邊形ADFE為平行四邊形，
∴DA=EF，AF=2AG，
∴BD=DA=EF，DA=AB=2AF=4AG；
在△DBF和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FE}\\{∠DBF=∠EFA}\\{BF=FA}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EFA；
綜上所述：①③④正確，
故選C．

點評 本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、平行四邊形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性比較強(qiáng)，有一定難度．