Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有實(shí)數(shù)根。
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩實(shí)根分別為x₁與x₂，求代數(shù)式x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值。

Answer 1

解：（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，
得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0，
∴△=b²﹣4ac=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24，
∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴﹣8m+24≥0，
解得 m≤3，
∴m的取值范圍是m≤3；
（2）∵方程的兩實(shí)根分別為x₁與x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系，得
∴x₁+x₂=2m﹣6，，
∴
=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²
=﹣m²+12m﹣27
=﹣（m﹣6）²+9
∵m≤3，且當(dāng)m＜6時(shí)，﹣（m﹣6）²+9的值隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=3時(shí)，的值最大，最大值為﹣（3﹣6）²+9=0，
∴的最大值是0。