Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)在函數(shù)C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象上，其中k₁＞0，AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，且AC=1．
（1）若k₁=2，則AO的長為$\sqrt{5}$，△BOD的面積為1；
（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為k₁，且k₁＞1，當(dāng)AO=AB時(shí)，求k₁的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)的解析式可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出AO的長度；再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可直接得出S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₁|，代入k₁值即可得出結(jié)論；
（2）將A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及AO=AB，即可得出關(guān)于k₁的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)k₁=2，AC=1時(shí)，OC=k₁=2，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∵k₁=2，且S_△BOD=$\frac{1}{2}$|k₁|=$\frac{1}{2}$×2=1．
故答案為：$\sqrt{2}$；1．
（2）∵AC=1，且點(diǎn)A在函數(shù)C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k₁），
∴AO=$\sqrt{（1-0）^{2}+（{k}_{1}-0）^{2}}$=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$．
∵若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為k₁，且點(diǎn)B在函數(shù)C₁：y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（k₁，1），
∴AB=$\sqrt{（{k}_{1}-1）^{2}+（1-{k}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2}$|k₁-1|．
又∵AO=AB，即$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$|k₁-1|，
解得：k₁=2-$\sqrt{3}$，或k₁=2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義直接求面積；（2）由兩點(diǎn)間的距離公式得出關(guān)于k₁的方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)后，再依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及等量關(guān)系找出關(guān)于反比例系數(shù)k的方程，解方程即可．