Question

16．如圖1，直線AB∥CD，點(diǎn)P在兩平行線之間，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，連結(jié)PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，請(qǐng)求出∠EPF．（請(qǐng)寫出必要的步驟說(shuō)明理由）

（2）如圖2，若點(diǎn)P、Q在直線AB與CD之間時(shí)，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，請(qǐng)求出∠4=80°．（不需說(shuō)明理由，請(qǐng)直接寫出答案）
（3）如圖3，在圖1基礎(chǔ)上，作P₁E平分∠PEB，P₁F平分∠PFD，若設(shè)∠PEB=x°，∠PFD=y°．則∠P₁=$\frac{1}{2}$（x+y）°（用x，y的代數(shù)式表示），若P₂E平分∠P₁EB，P₂F平分∠P₁FD，可得∠P₂，P₃E平分∠P₂EB，P₃F平分∠P₂FD，可得∠P₃…，依次平分下去，則∠P_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（x+y）°．
（4）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，張開(kāi)同學(xué)制作了一個(gè)圖5的“回旋鏢”，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)∠PAC=38°，∠PBC=22°，他很想知道∠APB與∠C的數(shù)量關(guān)系，你能告訴他嗎？請(qǐng)你直接寫出答案：∠APB=∠C+60°．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得；
（2）同理依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可證得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的結(jié)論和角平分線的性質(zhì)即可寫出結(jié)論；
（4）過(guò)A、B分別作直線AE、BF，使AE∥BF，利用（1）的結(jié)論即可求解．

解答 解：（1）如圖1，

過(guò)點(diǎn)P作PH∥AB∥CD
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH
而∠EPF=∠EPH+∠FPH
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）∠4=80°，（3）∠P₁=$\frac{1}{2}$（x+y）°（用x，y的代數(shù)式表示）
∠P_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（x+y）°．
（4）∠APB=∠C+60°．理由如下：
過(guò)A、B分別作直線AE、BF，使AE∥BF．如圖，

由（1）規(guī)律可知∠C=∠1+∠2．
∠APB=∠PAE+∠PBF
=（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）
=∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）
=∠C+60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線，利用性質(zhì)解決問(wèn)題．