Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）與B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，其圖象頂點(diǎn)為D．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）試問(wèn)△ABD與△BCO是否相似？并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是此二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且∠PAB=∠ACB，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）與B（3，0），
∴，
解得，，
∴此二次函數(shù)的解析式是：y=x²-4x+3；

（2）△ABD與△BCO相似．
理由如下：
∵由（1）知，該拋物線的解析式是y=x²-4x+3=（x-2）²-1．
故C（0，3），D（2，-1）．
∵OC=OB=3，
∴△BCO是等腰直角三角形．
又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，-1），
∴AD=BD=，AB=2，
∴AB²=AD²+BD²
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴△ABD與△BCO相似；

（3）延長(zhǎng)CA，并過(guò)B點(diǎn)做垂直于CA的直線與CA相交與E點(diǎn)，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴==，
根據(jù)勾股定理，CA=，
則EA=，EB==，
tan∠ACB==，
∵∠APB=∠ACB，
則tan∠APB=，
令過(guò)A（1，0）的直線為y=k（x-1），
∵∠PAB=∠ACB，
故k=±tan∠ACB=±，
故：y=±（x-1），
分別與y=x²-4x+3聯(lián)立得：
（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=，
∴y₁=0，y₂=-，
-（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=，
∴y₁=0，y₂=，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），
所以：P（，）或P（，-）．
分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a、b的值，即可得解；
（2）由（1）中的二次函數(shù)解析式即可求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它們相似；
（3）首先求出tan∠ACB=，進(jìn)而得出過(guò)A（1，0）的直線為y=±（x-1），將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出過(guò)點(diǎn)A符合要求的直線解析式是解題關(guān)鍵．