Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC斜靠在兩坐標(biāo)軸上放在第二象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）．B點(diǎn)在拋物線的圖象上，過點(diǎn)B作軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為．

（1）求證：；

（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使 △ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）先根據(jù)同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結(jié)論；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)同角的余角相等證得，又為等腰直角三角形，可得．即可證得結(jié)論；

（2）由C點(diǎn)坐標(biāo)可得BD=CO=1，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)所在直線的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；

（3）先求得拋物線的對稱軸為直線．再分以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)；以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，兩種情況根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

（1）∵，，

∴．     

∵為等腰直角三角形，

∴．

在和中

∴（AAS）．

（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴BD=CO=1．

∵B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為． 

設(shè)所在直線的函數(shù)關(guān)系式為，

則有，解得

∴BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為．          

（3）存在．     

=，

∴對稱軸為直線． 

若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)，使．

∵ 

∴點(diǎn)為直線與對稱軸直線的交點(diǎn)．

由題意得，解得

∴．

若以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，對稱軸上有一點(diǎn)，使，

過點(diǎn)作，交對稱軸直線于點(diǎn)．

∵CD=OA，

∴A（0，2）．

易求得直線的解析式為，

由得，∴．

∴滿足條件的點(diǎn)有兩個，坐標(biāo)分別為．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．