Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，I是內心，BI的延長線交AC于點D，過A、B、D三點作⊙O交BC于E點．
求證：BC=BD+AD．

Answer 1

分析：連接DE  在△ABC中根據∠A=100°可求出∠ABC的度數(shù)，I是內心，根據BI平分∠ABC，可知∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=20°故可得出∠ADB的度數(shù)，在⊙O中由內接四邊形的性質可知∠A+∠BED=180°，故可得出∠BED的度數(shù)，進而可得出∠BDE的度數(shù)，即∠BED=∠BDE，BD=BE，由三角形內角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，
進而得出CE=DE，由∠ABD=∠DBC可知

AD

=

DE

，故AD=DE=CE，進而可得出結論．

解答：證明：如圖，連接DE  在△ABC中，
∵∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=

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2

（180°-∠A）=40°
又∵I是內心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=20°
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°
在⊙O中，∠A+∠BED=180°，
∴∠BED=180°-∠A=80°
∴∠BDE=180°-∠DBC-∠BED=80°，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE
又∵∠C=40°∠BED=80°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=40°
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE
又∵∠ABD=∠DBC，
∴

AD

=

DE

，
∴AD=DE，
∴AD=CE
∴BC=BE+CE=BD+AD．

點評：本題考查的是三角形的內切圓與內心．根據題意作出輔助線，構造出圓內接四邊形是解答此題的關鍵．