Question

在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上（點(diǎn)E與A、D不重合）；且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y．
（1）求BC邊的長(zhǎng)；
（2）求出 y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（3）利用配方法求x為何值時(shí)，y有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)A點(diǎn)作AG∥CD交BC于G點(diǎn)，易證四邊形AGCD為平行四邊形，可知AD=CG，AB=CD=AG，又∠ABC=60°，故△ABG為等邊三角形，則有BC=BG+CG=AB+AD；
（2）由等腰梯形的性質(zhì)可知∠A=∠D=120°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BED=∠ABE+∠A，即∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠A，可證∠ABE=∠DEF，則△ABE∽△DEF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系；
（3）利用配方法，將（2）中的函數(shù)關(guān)系式寫(xiě)成頂點(diǎn)式，可求最大值．
解答：解：（1）過(guò)A點(diǎn)作AG∥CD交BC于G點(diǎn)，
∵AD∥BC，
∴四邊形AGCD為平行四邊形，
∴AD=CG，AB=CD=AG，又∠ABC=60°，
∴△ABG為等邊三角形，
∴BG=AB，
∴BC=BG+CG=AB+AD=12；

（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，得∠A=∠D=120°，
根據(jù)三角形外角定理，得∠BED=∠ABE+∠A，
即120°+∠DEF=∠ABE+120°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴=，即=，
解得y=-x²+x；

（3）∵y=-x²+x=y=-（x-3）²+，且-＜0，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y_最大值=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)與二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)得出x、y的關(guān)系式．