Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切線，連接PD并延長交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.

（1）判斷直線PF與AC的位置關(guān)系，并說明你的理由；

（2）當⊙O的半徑為5，tan∠P=，求AC的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）PF∥AC，證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接BC,則∠ACB=90°.由BP是圓O的切線知：∠ABC+∠PBC=90°；而∠ABC=∠ACB=∠P，所以∠P+∠PBC=90°，則三角形內(nèi)角和定理可知∠PHB=90°,即PF∥AC；

（2）在Rt△ABC中，由tan∠P=tan∠D=tan∠ABC=設(shè)AC=x，BC=2x，根據(jù)勾股定理可求出x的值.

試題解析：（1）連接BC，交PF于H，則∠ACB=90°，∠ABC=∠ADC.

又∵∠BPF=∠ADC.

∴∠ABC=∠ADC=∠BPF

∵BP是⊙O的切線

∴∠PBC+∠ABC=90°

∴∠P+∠PBC=90°

∴∠PHB=90°

∴∠FHC=∠ACB=90°

∴PF∥AC;

(2)由（1）知：∠ABC=∠ADC=∠BPF

∴tan∠D=tan∠ABC=tan∠P=

設(shè)AC=x，BC=2x，則：

∴

解得：，

即AC=

考點: 1.平行線的判定；2.解直角三角形.