Question

10．如圖①，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△MBC的面積與△OBC的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BD．在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），可求得拋物線的表達(dá)式；
（2）根據(jù)直線BC的解析式為y=-x+3，可得過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線y=-x，與拋物線的交點(diǎn)即為M，據(jù)此求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)BP交軸y于點(diǎn)G，再根據(jù)點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，進(jìn)而判定△CGB≌△CDB，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1），得到直線BP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，最后計(jì)算直線BP與拋物線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3；

（2）存在．
∵拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵C（0，3），B（3，0），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴過(guò)點(diǎn)O與BC平行的直線y=-x，與拋物線的交點(diǎn)即為M，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M₁（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$），M₂（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$）；

（3）存在．
如圖，設(shè)BP交軸y于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，
∴當(dāng)x=2時(shí)，m=-2²+2×2+3=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），
把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴CD∥x軸，CD=2，
∵點(diǎn)B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，
又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，
∴△CGB≌△CDB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=OC-CG=1，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+1，
將B（3，0）代入，得3k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴直線BP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
令-$\frac{1}{3}$x+1=-x²+2x+3，
解得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=3，
∵點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{2a}$=1左側(cè)的一點(diǎn)，即x＜1，
∴x=-$\frac{2}{3}$，
把x=-$\frac{2}{3}$代入拋物線y=-x²+2x+3中，
解得y=$\frac{11}{9}$，
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）時(shí)，滿(mǎn)足∠PBC=∠DBC．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，找出判定全等三角形的條件．