Question

已知：直線y=ax+b與拋物線y=ax²-bx+c的一個交點為A（0，2），同時這條直線與x軸相交于點B，且相交所成的角β為45°．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線y=ax²-bx+c的解析式；
（3）判斷拋物線y=ax²-bx+c與x軸是否有交點，并說明理由．若有交點設為M，N（點M在點N左邊），將此拋物線關于y軸作軸反射得到M的對應點為E，軸反射后的像與原像相交于點F，連接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在點P，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質即可求得；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（3）利用b²-4ac確定拋物線有沒有交點，因為軸反射后的像與原像相交于點F，則F點即為A點，則OF=2，由于△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，所以P點的縱坐標為2或-2，代入y=-x²-2x+2即可求得．

解答：解：（1）∵直線y=ax+b過A（0，2），同時這條直線與x軸相交于點B，且相交所成的角β為45°，
∴OA=OB，
∴當a＞0時，B（-2，0），當a＜0時，B（2，0）；

（2）把A（0，2），B（-2，0）代入直線y=ax+b得；

b=2 0=-2a+b

，
解得：

a=1 b=2

，
把A（0，2），B（2，0）代入直線y=ax+b得

b=2 0=2a+b

，
解得：

a=-1 b=2

，
∵拋物線y=ax²-bx+c過A（0，2），
∴c=2，
故拋物線的解析式為：y=x²-2x+2或y=-x²-2x+2．

（3）存在．
如圖，拋物線為y=x²-2x+2時，b²-4ac=4-4×1×2＜0，拋物線與x軸沒有交點，
拋物線為y=-x²-2x+2時，b²-4ac=4-4×（-1）×2＞0，拋物線與x軸有兩個交點；

∵軸反射后的像與原像相交于點F，則F點即為A點，
∴F（0，2）
∵△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，
∴P點的縱坐標為2或-2，
當y=2時，-x²-2x+2=2，解得：x=-2或x=0（與點F重合，舍去）；
當y=-2時，-x²-2x+2=-2，解得：x=-1+

5

，x=-1-

5

，
故存在滿足條件的點P，點P坐標為：（-2，2），（-1+

5

，-2），（-1-

5

，-2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的交點問題以及三角形面積的求解方法，問題考慮周全是本題的難點．