Question

2．如圖OP=1，過P作PP₁⊥OP且PP₁=1，得OP₁=$\sqrt{2}$，再過點P₁作P₁P₂⊥OP₁且P₁P₂=1，連接OP₂，得OP₂=$\sqrt{3}$；又過點P₂作P₂P₃⊥OP₂且P₂P₃=1，得OP₃=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP₁²+OP₂²+OP₃²+OP₄²+…+OP_n²=$\frac{n（n+3）}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理分別求出每個直角三角形斜邊長，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．

解答 解：∵OP₁=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：OP₂=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OP₃=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{4}$，
…
OP_n=$\sqrt{n+1}$，
∴OP₁²+OP₂²+OP₃²+OP₄²+…+OP_n²=2+3+4+5+…+n+1=$\frac{n（n+3）}{2}$．
故答案為：$\frac{n（n+3）}{2}$．

點評 本題考查了勾股定理的應用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．