Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG

是梯形ABCD的高．
（1）求證：AE=GF；
（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD為等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．（1分）
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．（2分）
又∵AE為等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中點(diǎn)，
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四邊形AEFD是平行四邊形．（3分）
∴AE=DF（4分）
∵F是DC的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高，
∴GF=DF，（5分）
∴AE=GF．（6分）

（2）在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=1，
∴AD=2．
在Rt△DGC中∠C=60°，
并且DC=AD=2，
∴DG=

3

．（8分）
由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四邊形DEGF的面積=

1

2

EF?DG=

3

．（10分）