Question

6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l₁：y=x+1與直線l₂：y=kx+3交于點A，分別交x軸于點B和點C（4，0），點D是直線l₂上的一個動點，
（1）求k的值和點A、B的坐標；
（2）若${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$，求點D的坐標；
（3）若△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，把兩條直線聯(lián)立起來組成方程組，解方程組可得到A點坐標；再把y=0分別代入函數(shù)解析式可確定B點坐標；
（2）設(shè)出點D的坐標，根據(jù)${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$，列出方程解決問題；
（3）分類討論：當DB=DC，則求得D點的橫坐標，然后代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可確定D點的縱坐標；當BC=BD=5，設(shè)D點坐標為（x、y），然后利用勾股定理建立等量關(guān)系求解．

解答 解：（1）將點C（4，0）代入y=kx+3，得4k+3=0，
$k=-\frac{3}{4}$，
直線l₂的解析式為$y=-\frac{3}{4}x+3$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=-\frac{3}{4}x+3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{7}\\ y=\frac{15}{7}\end{array}\right.$，即$A（\frac{8}{7}，\frac{15}{7}）$，
由y=x+1，當y=0 時，x=-1，即B（-1，0）；
（2）設(shè)點D的坐標為$（m，-\frac{3}{4}m+3）$，
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•|{y_A}|=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{7}=\frac{75}{14}$，
當${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}=\frac{14}{15}×\frac{75}{14}=5$時，
即$\frac{1}{2}BC•|{-\frac{3}{4}m+3}|=5$
$|{-\frac{3}{4}m+3}|=2$，解得$m=\frac{4}{3}$或$m=\frac{20}{3}$，
當${S_{△BCD}}=\frac{14}{15}{S_{△ABC}}$時，點D的坐標為$（\frac{4}{3}，2）$或$（\frac{20}{3}，-2）$；
（3）①當BD=BC=5時，
即$\sqrt{{{（m+1）}^2}+{{（-\frac{3}{4}m+3）}^2}}=5$，
化簡得5m²-8m-48=0，
即（m-4）（5m+12）=0，
解得：m₁=4（此時點D與C重合，舍去），${m_2}=-\frac{12}{5}$；
②當CD=BC=5時，
即$\sqrt{{{（m-4）}^2}+{{（-\frac{3}{4}m+3）}^2}}=5$，
化簡得m（m-8）=0，
m₃=0，m₄=8；
③當BD=CD時，${m_5}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}$，
綜上所述，當△CBD為等腰三角形時，點D的坐標為$（-\frac{12}{5}，\frac{24}{5}）$，（0，3），$（\frac{3}{2}，\frac{15}{8}）$，（8，-3）．

點評 此題考查了兩直線平行或相交的問題：直線y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直線y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，則k₁=k₂；若直線y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直線y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，則交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．