Question

如圖，△ABE中，AB=AE，以AB為直徑作⊙O交BE于C，過(guò)C作CD⊥AE于D，DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，求證∠OCB+∠BCP=∠ECD+∠E=90°
（2）連接AC，根據(jù)直角三角形的面積公式S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

AE•CD求解．

解答：證明：（1）連接OC；
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°；
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO；
又∵∠DCE=∠PCB，
∴∠BCO+∠PCB=90°；
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：連接AC；
∵AB=AE=5，AB是⊙O的直徑，BE=6，
∴AC⊥BE且EC=BC=3；
∴由勾股定理知，AC=4；
∵CD⊥AE，
∴S_△ACE=

1

2

AC•CE=

1

2

AE•CD，
∴DC=

AC•CE

AE

=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的面積公式求解等知識(shí)．解題時(shí)要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑與構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是圓中的常見輔助線．