Question

（2005•青島）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△CDM；
（2）四邊形MENF是什么圖形？請證明你的結論；
（3）若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數量關系？并請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知四邊形ABCD為等腰梯形，推出AB=CD，∠A=∠D，AM=DM故可證明三角形全等．
（2）由1證明三角形全等得出各邊之間的關系推出四邊形MENF是菱形．
（3）由梯形的性質可推出四邊形MENF是正方形推出MN⊥BC且MN=BC．
解答：證明：（1）∵ABCD為等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵M是AD中點，
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．

（2）四邊形MENF是菱形（若考生回答是平行四邊形且給出證明，則此問題只能得2分）
由△ABM≌△DCM，得MB=MC，
∵E、F、N是MB、MC、BC的中點，
∴ME=BM，MF=MC，NF=BM，NE=MC．
∴ME=MF=FN=NE．
∴四邊形MENF是菱形．

（3）梯形的高等于底邊BC的一半連接MN，
∵MENF是正方形，
∴∠BMC=90°．
∵MB=MC，N是中點，
∴MN⊥BC且MN=BC．
點評：本題主要考查等腰梯形的性質的應用，全等三角形的判定以及菱形的判定定理．