Question

11．如圖，四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為100°．

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，進而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．

解答 解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，
則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠C=40°，
∴∠DAB=140°，
∴∠HAA′=40°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=40°，
∴∠EAF=140°-40°=100°，
故答案為：100°．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關鍵．