Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，點D是AB的中點，點P是線段AC上的動點，連接PB，PD，將△BPD沿直線PD翻轉(zhuǎn)，得到△B′PD與△APD重疊部分的面積是△ABP面積的$\frac{1}{4}$時，AP=6-$\sqrt{6}$或$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由S△PDF=$\frac{1}{4}$S△ABP，得到F為AP的中點，于是DF∥BP，所以∠2=∠3，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠1=∠2，所以∠1=∠3，所以BD=BP=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)勾股定理知AB=2$\sqrt{10}$，所以BP=$\sqrt{10}$，再根據(jù)勾股定理得PC=$\sqrt{6}$，所以AP=6-$\sqrt{6}$；或折疊△PDB'的頂點B′落在AB下方可求解．

解答 解：∵S_△PDF=$\frac{1}{4}$S_△ABP，S_△DPB=S_△DPA，
∴F為AP的中點，
又∵點D是AB的中點，
∴DF∥BP，
∴∠2=∠3，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BD=BP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AC=6，BC=2，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴BP=$\sqrt{10}$，
∴PC=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AP=AC-PC=6-$\sqrt{6}$；
當(dāng)折疊△PDB'的頂點B′落在AB下方，易證△AEP≌△DEB′，
∴AP=DB′=BD=$\sqrt{10}$
故答案為：6-$\sqrt{6}$或$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了折疊變換問題、等積變換、三角形的中位線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理的綜合運用，本題綜合性較強，有一定的難度．