Question

4．如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．
（1）求∠DAE的度數(shù)．
（2）你能把∠B，∠C，∠DAE之間的關(guān)系規(guī)律化嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
①設(shè)F為AE上任意一點(diǎn)，當(dāng)它在AE上滑動(dòng)，AD變成FD（如圖2）時(shí)，結(jié)論還成立嗎？
②當(dāng)它滑動(dòng)到AE的延長(zhǎng)線上，AD變成FD（如圖3）時(shí)，結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠DAC的度數(shù)，在直角△ACD中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠DAC的度數(shù)，則∠DAE的度數(shù)就可以求出．
（2）如圖1先由互余計(jì)算出∠BAD=90°-∠B，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，而AE平分∠BAC，則∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是∠DAE=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
①如圖2，結(jié)論成立．作AH⊥BC于H，由（2）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），根據(jù)平行線的性質(zhì)易得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
②如圖3，結(jié)論成立，方法與圖①一樣．

解答 解：（1）在△ABC中∠BAC=180-∠B-∠C=76°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=38°，
在直角△ACD中，∠DAC=90-∠C=56°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°．
（2）如圖1，∠B，∠C，∠DAE的關(guān)系為∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），理由如下：
∵∠BAD=90°-∠B，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C+∠B=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
①如圖2，結(jié)論成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
②如圖3，結(jié)論成立．理由如下：
作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．三角形內(nèi)角和主要用在求三角形中角的度數(shù)．也考查了三角形外角性質(zhì)．