Question

18．如圖，⊙O的半徑是1cm，圓外一點OP=3cm；小明用圓規(guī)和直尺作如下操作：

①分別以O(shè)、P為圓心，以3cm的長為半徑畫弧，兩弧相交于A、B兩點；
②作直線AB交OP于點M；
③以M點為圓心，以線段OM的長為半徑畫弧，交⊙O于一點C
（1）請幫小明完成余下作圖：①作射線PC；②延長PO交圓O于點D，連接CD；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）求CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，依題意如圖所示，
（2）連結(jié)OC，根據(jù)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端，并且和這條半徑垂直的直線是圓的切線，可證得PC是⊙O的切線．
（3）由切線長定理，求出PC，再由△PCE∽△PDC求出DC與CE的關(guān)系，最后在Rt△DCE中，利用勾股定里求出DC的長．

解答 解：（1）如圖所示，
（2）連結(jié)CO，根據(jù)題意，AB是PO的垂直平分線
∵PO=3，M是PO的中點，
∴OM=MP=1.5，又MC=OM
∴CM=OM=MP=$\frac{1}{2}$OP，
∴△POC是直角三角形，即∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線．
（3）∵⊙O半徑是1，PO=3，
∴PD=PO+DO=3+1=4，PE=PO-OE=3-1=2，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC²=PE•PD=2×4=8，
∴PC=2$\sqrt{2}$，
∵∠PCE=∠CDP，∠P=∠P，
∴△PCE∽△PDC，
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{PC}{PE}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∴DC=$\sqrt{2}$CE，
∵DE是⊙O直徑，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+CE²=DE²，
∴（$\sqrt{2}$CE）²+CE²=2²，
解，得CE=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴DC=$\sqrt{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}\sqrt{6}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．