Question

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G．
（1）求證：AE⊥BF；
（2）將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF（如圖2），延長(zhǎng)FP到BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求sin∠BQP的值；
（3）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）運(yùn)用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°求證；
（2）△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QP求解；
（3）先求出正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積比等于相似邊長(zhǎng)比的平方，求得S_△AGN=

4

5

，
再利用S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解．

解答：（1）證明：如圖1，
∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴CF=BE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF BE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

（2）解：如圖2，根據(jù)題意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），則PB=2k
在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=

5k

2

，
∴sin∠BQP=

BP

QB

=

2k

5k 2

=

4

5

．

（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，
∴邊長(zhǎng)為2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴

S△AGN

S△AHM

=(

AN

AM

)2，
∴

S△AGN

1

=(

2

5

)2，
∴S_△AGN=

4

5

，
∴S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN=1-

4

5

=

1

5

，
∴四邊形GHMN的面積是

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合題，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，角的關(guān)系求解．