Question

在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過A作AD⊥BP于D，交直線BC于Q．
（1）如圖1，當P在線段AC上時，求證：BP=AQ．
（2）當P在線段AC的延長線上時，請在圖2中畫出圖形，并求∠CPQ．
（3）如圖3，當P在線段AC的延長線上時，∠DBA=

∠P

時，AQ=2BD．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP=∠CBP，進而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）首先證明△APC≌△BQC（ASA），進而得出PC=CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）首先證明∠P=∠Q，進而得出△ACQ≌△BCP（ASA），即可得出BP=AQ，求出即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA=∠PCB CA=CB ∠CAQ=∠CBP

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）解：如圖2所示：
∵∠ACP=∠BDP=90°，∠APC=∠BPD，
∴∠CAP=∠DBP，
在△APC和△BQC中

∠ACP=∠BCQ CA=CB ∠CAP=∠CBQ

，
∴△APC≌△BQC（ASA），
∴PC=CQ，
∵∠PCD=90°，
∴∠CPQ=∠CQP=45°；

（3）解：當∠DBA=∠P時，AQ=2BD；
∵∠DBA=∠P，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴AD=DP，
∵∠ACQ=∠ADP=90°，∠PAD=∠QAC，
∴∠P=∠Q，
在△ACQ和△BCP中

∠QCA=∠PCB CA=CB ∠Q=∠P

，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ，
∴此時AQ=BP=2BD．
故答案為：∠P．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)題意得出全等三角形是解題關鍵．