Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=PC，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接FB．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，（0≤t≤6）設(shè)△PBF的面積為S；①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)t是多少時(shí)，△PBF的面積最大，最大面積是多少？
（3）點(diǎn)P在移動(dòng)的過程中，△PBF能否成為直角三角形？若能，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），
把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）
三點(diǎn)代入解析式得：，
解得；
∴；
（法二）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，
∴；
∴，
即；
（2）①過點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，BP=6﹣t，OP=1﹣t；
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，
∴∠FPD+∠CPO=90°，
∵∠PCO=∠FPD；
∴∠POC=∠FDP，
∴△CPO∽△PFD，
∴；
∴PF=PE=2PC，
∴FD=2PO=2（1﹣t）；
∴S_△PBF==t²﹣7t+6（0≤t＜1）；
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，OP=t﹣1，BP=6﹣t；
∵△CPO∽△PFD，
∴FD=2（t﹣1）；∴S_△PBF==﹣t²+7t﹣6（1＜t＜6）；
②當(dāng)0≤t＜1時(shí)，S=t²﹣7t+6；
此時(shí)t在t=3.5的左側(cè)，S隨t的增大而減小，
則有：當(dāng)t=0時(shí)，S_max=0﹣7×0+6=6；
當(dāng)1＜t＜6時(shí)，S=﹣t²+7t﹣6；
由于1＜3.5＜6，故當(dāng)t=3.5時(shí)，S_max=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；
綜上所述，當(dāng)t=3.5時(shí)，面積最大，且最大值為6.25．
（3）能；①若F為直角頂點(diǎn)，過F作FD⊥x軸于D，
由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，
在Rt△OCP中，OP=t﹣1，
由勾股定理易求得CP²=t²﹣2t+5，
那么PF²=（2CP）²=4（t²﹣2t+5）；
在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，
由射影定理可求得PB=PF²÷PD=t²﹣2t+5，
而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6﹣t，
聯(lián)立兩式可得t²﹣2t+5=6﹣t，
即t=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
則F點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，）；
②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，
那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時(shí)t=2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，
則F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．