Question

10．如圖，線段PA=1，點D是線段PA延長線上的點，AD=a（a＞1），點O是線段AP延長線上的點，OA²=OP•OD，以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形OAB，∠BOA=90°．
點C是弧AB上的點，聯(lián)結(jié)PC、DC．
（1）聯(lián)結(jié)BD交弧AB于E，當a=2時，求BE的長；
（2）當以PC為半徑的⊙P和以CD為半徑的⊙C相切時，求a的值；
（3）當直線DC經(jīng)過點B，且滿足PC•OA=BC•OP時，求扇形OAB的半徑長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OE，作OM⊥BC于M．設(shè)⊙O半徑為r，先列出關(guān)于r的方程求出r，再求出OM，在RT△BOM中利用勾股定理即可．
（2）如圖2中，⊙C與⊙P相切于點M，連接DM與⊙P交于點Q，連接PQ、CQ、OC，想分別證明點A是△CMD的重心即可．
（3）如圖3中，連接OC、PB、AC，想辦法證明△OBC是等邊三角形，再利用方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接OE，作OM⊥BC于M．設(shè)⊙O半徑為r，
∵OA²=OP•OD，
∴r²=（r-1）（r+2），
∴r=2，
在RT△BOD中，∵OB=2，OD=4，
∴BD=$\sqrt{B{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$•OD•OB=$\frac{1}{2}$•BD•OM，
∴OM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在RT△BOM中，∵$BO=2，OM=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BM=$\sqrt{O{B}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵OM⊥BE，
∴BM=ME，BE=2BM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）如圖2中，⊙C與⊙P相切于點M，連接DM與⊙P交于點Q，連接PQ、CQ、OC．
∵OA²=OP•OD，
∴OC²=OP•OD，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠COP=∠DOC，
∴△COP∽△DOC，
∴∠OCP=ODC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCP+∠PCA=∠ACD+∠ODC，
∴∠PCA=∠DCA，
∵CM=CD，∠CQM=90°（直徑CM所對的圓周角是直角），
∴∠MCQ=∠DCQ，
∴C、A、Q共線，
∵MP=PC，MQ=QD，
∴PQ∥CD，PQ=$\frac{1}{2}$CD，
∴PA：AD=PQ：CD=1：2，
∴AD=2PA=2．
（3）如圖3中，連接OC、PB、AC．
∵∵OA²=OP•OD，
∴OC²=OP•OD，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OD}{OP}$，
∵∠COP=∠DOC，
∴△COP∽△DOC，
∴∠OCP=ODC，
同理△BOP∽△DOB，∠OBP=∠D，
∴∠OBP=∠OCP，
∴O、B、C、P四點共圓，
∴∠BOP+∠BCP=90°，
∵PC•OA=BC•OP，
∴$\frac{PC}{OP}$=$\frac{BC}{BO}$，∵∠BOP=∠BCP，
∴△PBO∽△PBC，
∴$\frac{PC}{OP}$=$\frac{BC}{BO}$=$\frac{PB}{PB}$=1，
∴OB=BC=OC，PC=OP，設(shè)BO=BC=OC=r，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，∠D=30°，
在RT△PCD中，∵PC=OP=r-1，
∴PD=2PC=2r-2，
∴AD=2r-3，
∵OD=$\sqrt{3}$OB，
∴r+2r-3=$\sqrt{3}$r，
∴r=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
∴扇形OAB的半徑長為$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形，學會用面積法求三角形的高，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，掌握用特殊三角形解決問題的思想方法，屬于中考壓軸題．