Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于點D，垂足為E．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）若BD=4cm，BE=2cm，求△ABC的周長．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵DE是BC的垂直平分線，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ADC為等邊三角形；

（2）∵DE是BC的垂直平分線，BD=4cm，BE=2cm，
∴BC=2BE=2×2=4cm，CD=BD=4cm，
∵AD=CD，
∴AD=CD=BD=4cm，
∴AB=2BD=2×4=8cm，
∵△ABC是直角三角形，∠B=30°，
∴AC=AB=×8=4cm，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=8+4+4=（12+4）cm．
分析：（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出∠DCB的度數(shù)，進(jìn)而得到∠ACD的度數(shù)，由△ACD中各角的度數(shù)即可解答；
（2）由于DE是線段BC的垂直平分線，所以BC=2BE，CD=BD，由（1）可知CD=AD，可求出AB=2BD，再由∠B=30°可求出AC的長，由三角形的面積公式即可求解．
點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．