Question

11．如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，作AD⊥CD，垂足為D．
（1）若直線CD與⊙O相切于點C，求證：△ADC∽△ACB；
（2）如果把直線CD向下平行移動，如圖2，直線CD交⊙O于C、G兩點，若題目中的其他條件不變，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，AB=10，求圓心O到GB的距離OH的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由CD切⊙O于C，根據(jù)切線的性質，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠CAO，根據(jù)圓周角定理求得∠ACB=90°，得出∠ADC=∠ACB，即可證得結論；
（2）由于四邊形ABGC為⊙O的內接四邊形，根據(jù)圓的內接四邊形的性質得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，根據(jù)tan∠DAC=$\frac{3}{4}$=tan∠GAB=$\frac{GB}{AG}$和勾股定理求得AG=8，GB=6，然后求得△ABG∽△OBH，根據(jù)相似三角形的性質求得$\frac{OB}{AB}$=$\frac{OH}{AG}$=$\frac{1}{2}$，即可求得OH=4．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1，
∵直線CD與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：如圖2，∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°，
∵四邊形ABGC是⊙O的內接四邊形，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠GAB，
∵tan∠DAC=$\frac{3}{4}$=tan∠GAB=$\frac{GB}{AG}$，
設GB=3x，AG=4x，
∵AB=10，
∴（3x）²+（4x）²=10²，
解得x=2，
∴AG=8，GB=6，
∵OH⊥GB，AG⊥GB，
∴OH∥AG，
∴△ABG∽△OBH，
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{OH}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
∴OH=4．

點評 此題考查了切線的性質、垂徑定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．